[2nd] Nombres premiers

• Matière: Mathématiques
  
• Niveau: 2nde
  
• Auteur: C. Lagorce (Ecrogal)
  
• Dernière mise à jour: 29 mars 2008

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I. DIVISIBILITÉ

Définition. Soient a et b deux entiers naturels (), on dit que “b est un diviseur de a” lorsqu’il existe un entier naturel c tel que a = bc. On dit aussi que “a est un multiple de b”.

Exemple. Par exemple, 3 divise 15 car 15 = 3*5.

Remarque. Tout nombre entier non nul a, admet aux moins deux diviseurs, 1 et a (distincts quand ).

II. CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ (RAPPELS)

Un nombre est divisible :

• par 2 : si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, 8,
  
• par 3 : si la somme de ses chiffres est divisible par 3,
  
• par 5 : si son chiffre des unités est 0 ou 5,
  
• par 9 : si la somme de ses chiffres est divisible par 9,
  
• par 10 : si son chiffre des unités est 0.

Exemple. 1242 est divisible par 2 (son chiffre des unités est 2), par 3 et par 9 (1 + 2 + 4 + 2 = 9).

III. NOMBRES PREMIERS

Définition. Un entier est premier s’il admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

Remarque.

• 1 n'est pas premier,
  
• Les nombres premiers inférieurs à 20 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19.

IV. DÉCOMPOSITION EN PRODUIT DE FACTEURS PREMIERS

Proposition. Tout entier naturel a, non premier, supérieur à 2 peut toujours s’écrire sous la forme d’un produit où chaque facteur est un nombre premier.

Méthode. Pour trouver sa décomposition, on le divise successivement par des nombres premiers, en utilisant les critères de divisibilité (cf. fichier joint pour un exemple).

Remarque.

• On appelle cette forme la “décomposition en produit de facteurs premiers de a",
  
• Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.